Question

已知函数，（是不同时为零的常数），其导函数为。

（1）当时，若存在，使成立，求的取值范围；

（2）求证：函数在内至少有一个零点；

（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）当时，==，其对称轴为直线，

当 解得，当无解，

所以的的取值范围为．………………………………………………………4分

（2）因为，

法一：当时，适合题意.…………………………………6分

当时，，令，则，

令，因为，

当时，，所以在内有零点．

当时，，所以在（内有零点．

   因此，当时，在内至少有一个零点．

综上可知，函数在内至少有一个零点．…………………………………10分

法二：，，

由于不同时为零，所以，故结论成立．

 (3)因为=为奇函数，所以, 所以，

又在处的切线垂直于直线，所以，即．

因为，所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，

当时，，即，解得；

当时， ，解得；

当时，显然不成立；

当时，，即，解得；

当时，，故．

所以所求的取值范围是，或．

（以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）