Question

过双曲线的焦点F作渐近线的垂线l，则直线l与圆O：x²+y²=a²的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．无法确定

Answer 1

【答案】分析：双曲线的焦点F（c，0），渐近线y=，由l过焦点F且与渐近线垂直，知直线l的方程是，圆O：x²+y²=a²的圆心O（0，0），半径r=a．圆心O（0，0）到直线l的距离d=r，由此知直线l与圆O：x²+y²=a²相切．
解答：解：双曲线的焦点F（c，0），
渐近线y=，
∵l过焦点F且与渐近线垂直，
∴直线l的方程是，
即ax+by-ac=0．
圆O：x²+y²=a²的圆心O（0，0），半径r=a．
∵圆心O（0，0）到直线l的距离d===a=r．
∴直线l与圆O：x²+y²=a²相切．
故选C．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，圆的简单性质等基础知识．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的灵活运用．