Question

在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a=2，∠A=

π

4

，设∠C=θ．
（1）θ表示b；
（2）若tanθ=-

4

3

，求

CA

•

CB

的值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，先求出∠B=π-∠C=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，由正弦定

b

sin( 3π 4 -θ)

=

2

sin π 4

求出b．
（2）△ABC中，再由正弦定

c

sinθ

=

2

sin π 4

求出 c，根据两个向量的数量积的定义求出

CA

•

CB

=8sin(

3π

4

-θ)•cosθ，再由tanθ=-

4

3

，求出sinθ 和 cosθ 的值，可得
sin（

3π

4

-θ ）的值，从而求得 8sin(

3π

4

-θ)•cosθ 的值，即为所求．

解答：（1）在△ABC中，a=2，∠A=

π

4

，∠B=π-∠C=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ．（2分）
由正弦定得 

b

sin( 3π 4 -θ)

=

2

sin π 4

，b=2

2

sin（

3π

4

-θ ）．  （4分）
（2）△ABC中，再由正弦定得

c

sinθ

=

2

sin π 4

，c=2

2

sinθ．
故有

CA

•

CB

=|

CA

|•|

CB

|•cosθ= bc•cosθ=8sin(

3π

4

-θ)•cosθ．…（5分）
因为tanθ=-

4

3

，所以

π

2

＜θ＜π，所以 sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

．　　　…（7分）
又 sin（

3π

4

-θ ）=sin

3π

4

 cosθ-cos

3π

4

sinθ=

2

10

，…（9分）
所以

CA

•

CB

=8×

2

10

×（-

3

5

）=-

12

25

． …（10分）

点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积的定义，求出sin（

3π

4

-θ ）=

2

10

，是解题的关键．