Question

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2-c2=

3

ab．
（1）求角C的大小；
（2）如果0＜A≤

2π

3

，m=2cos2

A

2

-sinB-1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题中的等式，利用余弦定理算出cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，结合C是三角形的内角，可得∠C的大小；（2）由二倍角公式与诱导公式，化简得m=cosA-sin(A+C)=cosA-sin(A+

π

6

)，再利用两角和的正弦公式与辅助角公式，推出m=cos(A+

π

3

)，再结合0＜A≤

2π

3

利用余弦函数的图象与性质，即可算出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵在△ABC中，a²-c²+b²=

3

ab，
∴根据余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3 ab

2ab

=

3

2

．
又∵C是三角形的内角，可得0＜C＜π，
∴C=

π

6

；
（2）∵cos²

A

2

=

1

2

(1+cosA)，sinB=sin（π-B）=sin（A+C），C=

π

6

，
∴m=2cos2

A

2

-sinB-1=cosA-sin(A+C)=cosA-sin(A+

π

6

)
=cosA-(sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

)=cosA-

3

2

sinA-

1

2

cosA
=

1

2

cosA-

3

2

sinA=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=cos(A+

π

3

)．
∵0＜A≤

2π

3

，
可得

π

3

＜A+

π

3

≤π．
∴-1≤cos(A+

π

3

)＜

1

2

，
即m的取值范围是[-1，

1

2

)．

点评：本题已知三角形的边满足的平方关系式，求角C的大小并依此求实数m的取值范围．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质与余弦定理等知识，属于中档题．