题目内容

已知数列{a_n}中，a_n∈（0， $数学公式$ ），a_n= $数学公式$ + $数学公式$ •a_n-1²，其中n≥2，n∈N^*，求证：对一切自然数n都有a_n＜a_n+1成立．

证明：a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a_n²-a_n= $\text{[math]}$ （a_n-1）²- $\text{[math]}$ ．
∵0＜a_n＜ $\text{[math]}$ ，∴-1＜a_n-1＜- $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （a_n-1）²＜ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ （a_n-1）²- $\text{[math]}$ ＞0．
∴a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1对一切自然数n都成立．
分析：由题设条件可知，a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ （a_n-1）²- $\text{[math]}$ ．由0＜a_n＜ $\text{[math]}$ ，∴-1＜a_n-1＜- $\text{[math]}$ 能够导出 $\text{[math]}$ （a_n-1）²- $\text{[math]}$ ＞0．由此可知a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1对一切自然数n都成立．
点评：本题考查不等式的解法和数列的知识，解题时要注意培养计算能力．