Question

 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n= n²a_n（nN*）．

（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；

（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）S₁=a₁=1，

由题知，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂，得a₂=a₁=，∴ S₂=．

同理得，S₃=9a₃，即S₂+a₃=9a₃，得a₃=S₂==，∴ S₃=．

S₄=16a₄，即S₃+a₄=16a₄，得a₄=S₃==，∴ S₄=．

……………………………………………………………………………………………4分

（2）猜想：S_n=．…………………………………………………………………6分

证明：①当n=1时，，与已知相符，故结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即S_k=．

由已知有S_k+1=(k+1)²a_k+1

            =(k+1)²(S_k+1-S_k)，

整理得[(k+1)²-1]S_k+1=(k+1)²S_k，即S_k+1=，

∴ S_k+1==，

即当n=k+1时，结论也成立．

综上①②知，对n∈N*，S_n=．…………………………………………………10分