题目内容
已知函数f（x）=xk+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若P1，P2，P3，…，Pn，…是函数f（x）图象上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…是一系列正三角形，记它们的边长是a1，a2，a3，…，an，…，探求数列an的通项公式，并说明理由．
分析：（1）将（4，2）、（16，4）两点坐标代入函数f（x）=xk+b中，即可求出k、b的值，进而求得函数f（x）的解析式；
（2）根据前面求得的f（x）的解析式和题中已知条件可知函数g（x）的解析式，令g（x）+g（x-2）＜2ax+2，便可求出a的取值范围；
（3）根据前面求得的函数结合题中已知条件便可求出an与an+1的关系，便可求得数列an的通项公式．
（2）根据前面求得的f（x）的解析式和题中已知条件可知函数g（x）的解析式，令g（x）+g（x-2）＜2ax+2，便可求出a的取值范围；
（3）根据前面求得的函数结合题中已知条件便可求出an与an+1的关系，便可求得数列an的通项公式．
解答：解：（1）
?b=0，k=
?f(x)=
（2）g（x）=x2（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
?
原问题等价于a＜x+
-2在x∈[2，+∞）恒成立，
利用函数y=x+
-2在区间[2，+∞）上为增函数，
可得a＜
；
（3）由
?x=
?a1=
，
由
?
x-
-
Sn-1=0?x=
，
将x代入an=2(x-Sn-1)=
+
，
∴(an-
)2=
•(1+12Sn-1)且a1=
，
又(an+1-
)2=
•(1+12Sn)，
两式相减可得：(an+1-
)2-(an-
)2=
an?(an+1-
)2=(an+
)2?(an+1+an)(an+1-an-
)=0，
又，因为an＞0，所以an+1-an-
=0，
从而an是以
为首项，
为公差的等差数列，即an=
．
|
?b=0，k=
| 1 |
| 2 |
?f(x)=
| x |
（2）g（x）=x2（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
?
|
原问题等价于a＜x+
| 1 |
| x |
利用函数y=x+
| 1 |
| x |
可得a＜
| 1 |
| 2 |
（3）由
|
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
由
|
| 3 |
| x |
| 3 |
1+6Sn-1+
| ||
| 6 |
将x代入an=2(x-Sn-1)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1+12Sn-1 |
∴(an-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
又(an+1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
两式相减可得：(an+1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
又，因为an＞0，所以an+1-an-
| 2 |
| 3 |
从而an是以
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2n |
| 3 |
点评：本题主要考查了函数解析式的求法以及数列与函数的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|