Question

已知函数f（x）=x²+（a²+a）lnx-2ax，
（1）当a=时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围。

Answer 1

解：（1）f（x）=，
f′（x）=x-，
∴，
∵单调减，单调增，
∴f（x）在x=时取极小值。
（2）f′（x）=，
令g（x）=x²-2ax+a，
△=4a²-3a²-2a=a²-2a，
设g（x）=0的两根，
①当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，
∴f（x）单调递增，满足题意；
②当△＞0时，即a＜0或a＞2时，
（ⅰ）若＜a＜0时，
f（x）在上增，
f′（x）=x+-2a，
，
∴f′（x）在（0，+∞）单调增，不合题意；
（ⅱ）若，
即a≤时，f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意；
（ⅲ）若，
即a＞2时，
∴f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，不合题意；
综上得a≤或0≤a≤2。