Question

（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．
（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加 面试的学生人数；
（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问 题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个 问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为

1

2

，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．

Answer 1

分析：（1）设第i（i=1，2…8）组的频率为f_i，可得f₇，可得成绩在260分以上的同学的概率p，从而可求出参加面试的学生人数；
（2）不妨设两位同学为M，N，且M的成绩在270分以上，则对于M，答题的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，对于N，答题的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N₁₀表示N同学第一题正确，第二题错误，将两位同学的答题情况列出来，根据古典概型的概率公式可求出所．

解答：解：（1）设第i（i=1，2，…，8）组的频率为f_i，
则由频率分布直方图知f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008）×10=0.12．
所以成绩在260分以上的同学的概率p≈

f7

2

+f8=0.14，
故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人；
（2）不妨设两位同学为M，N，且M的成绩在270分以上，
则对于M，答题的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，对于N，答题的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，
其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N₁₀表示N同学第一题正确，第二题错误，
将两位同学的答题情况列表如下：

	M11	M10	M01	M00
N11	AB	BB	BB	CB
N10	AB	BB	BB	CB
N01	AB	BB	BB	CB
N00	AC	BC	BC	CC

表中AB表示M获A类资格，N获B类资格；BC表示M获B类资格，N没有获得资格．所以恰有一位同学获该高校B类资格的概率为

8

16

=

1

2

．

点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型及其概率计算公式，同时考查了分析问题的能力，运算求解的能力和转化的思想，属于中档题．