Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1，
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以点C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BEF、平面DEF的法向量分别，根据法向量的数量积为0可得结论；
（2）先求出平面ABF的法向量然后求出与平面BEF的法向量的夹角，根据图形可知二面角A-BF-E的平面角是钝角，从而求出二面角的大小．
解答：解：（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD，
EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如图所示的空间直角坐标系
，
∴
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为，
则=0①+1=0②=0③+1=0④
由①②③④解得x₁=-；x₂=，
∴（4分）
∴，∴，
故平面BEF⊥平面DEF（6分）
（2）设平面ABF的法向量，∵
∴+1=0，
∴（8分）
∴cos＜（10分）
由图知，二面角A-BF-E的平面角是钝角，
故所求二面角的大小为：π-arccos．（12分）
点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及二面角大小的度量，同时考查了推理能力、计算能力，以及应用向量知识解决立体几何问题的能力．