如图为中国传统智力玩具鲁班锁.起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合.外观看是严丝合缝的十字立方体.其上下.左右.前后完全对称.六根完全相同的正四棱柱分成三组.经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1.欲将其放入球形容器内.若球形容器表面积的最小值为30π.则正四棱柱体的高为( )A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

19．

如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱体的高为（　　）

A．

$2\sqrt{6}$

B．

$2\sqrt{7}$

C．

$4\sqrt{2}$

D．

5

分析先求出球形容器的半径的最小值r=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，从而得到正四棱柱体的对角线长为$\sqrt{30}$，由此能求出正四棱柱体的高．

解答解：∵球形容器表面积的最小值为30π，
∴球形容器的半径的最小值为r=$\sqrt{\frac{30π}{4π}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∴正四棱柱体的对角线长为$\sqrt{30}$，
设正四棱柱体的高为h，
∴1²+1²+h²=30，
解得h=2$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评本题考查球、正四棱柱的高等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．

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