Question

函数的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，且．
（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负数的数列{a_n}前n项和为S_n，满足，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，可得a=0，b=c，结合，可求函数的解析式，求导函数，可确定函数f（x）的单调减区间；
（2）由已知可得，当n≥2时，，两式相减，可求数列的通项，于是，待证不等式即为．为此，我们考虑证明不等式．
解答：（1）解：∵函数的定义域为{x|x≠1}，图象过原点
∴a=0，b=c
∵，b=2n，n∈N^*，∴b=2
∴（x≠1），∴f
令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
∴函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，2）
（2）证明：由已知可得，当n≥2时，
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n-a_n-1=-1（各项均为负数）
当n=1时，，∴a_n=-n…8
于是，待证不等式即为．
为此，我们考虑证明不等式…10
令，则t＞1，
再令g（t）=t-1-lnt，由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，∴t-1＞lnt
即①…12
令，
由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0，∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0，于是，即②…14
由①、②可知
所以，，即…16
点评：本题考查函数解析式的求解，考查导数知识的运用，考查数列的通项，考查不等式的证明，同时考查学生等价转化问题的能力，属于中档题．