题目内容
由点P（0，1）引圆x2+y2=4的割线l，交圆于A，B两点，使△AOB的面积为
（O为原点），求直线l的方程．
| ||
| 2 |
分析：先设出直线方程，与圆的方程联立求出x1，x2与斜率之间的关系；再结合△AOB的面积为
，即可得到直线l的方程．
| ||
| 2 |
解答：解：设直线l的方程为y=kx+1 ①
将①代入圆的方程整理得（1+k2）x2+2kx-3=0 ②
设其二实数根为x1，x2，由根与系数的关系得
x1+x2=-
，x1x2=-
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
∵S△AOB=
|OP|(|x1|+|x2|)=
|x1-x2|=
∴|x1-x2|=
=
=
即
=
(1+k2)
解得k=±1，
故直线l的方程为y=±x+1
将①代入圆的方程整理得（1+k2）x2+2kx-3=0 ②
设其二实数根为x1，x2，由根与系数的关系得
x1+x2=-
| 2k |
| 1+k2 |
| 3 |
| 1+k2 |
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
∵S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| ||
| |1+k2| |
| 7 |
即
| 16k2+12 |
| 7 |
解得k=±1，
故直线l的方程为y=±x+1
点评：本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法．本题出现最多的问题应该是计算上的问题，平时要强化基本功的练习．
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