Question

在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．
（1）证明：FO∥平面CDE；
（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

Answer 1

证明：（1）证明：取CD中点M，连接OM．  
在矩形ABCD中，OM∥BC，且 OM=BC，
又 EF∥BC，且 EF=BC，
则 EF∥OM，EF=OM，
连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM．
又FO不在平面CDE内，且 EM在平面CDE内，
∴FO∥平面CDE．
（2）证明：连接FM，由（1）和已知条件，
在等边△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，
且 EM=CD= BC=EF，
因此，平行四边形EFOM为菱形，
从而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．
而FM∩CD=M，
所以，EO⊥平面CDF．