题目内容
某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试．假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为
，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m，n（m＞n），且该同学3门课程都获得优秀的概率为
，该同学3门课程都未获得优秀的概率为
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ） 记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 125 |
| 6 |
| 125 |
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ） 记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的，计算事件”ξ=0”的概率即可；
（II）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，根据该同学3门课程都获得优秀的概率为
，该同学3门课程都未获得优秀的概率为
，确定m，n的值，进而可求ξ的取值为1，2时的概率，即可求得分布列与期望的值．
（II）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，根据该同学3门课程都获得优秀的概率为
| 24 |
| 125 |
| 6 |
| 125 |
解答：解：设事件Ai表示：该生语文、数学、英语课程取得优异成绩，i=1，2，3．
由题意可知P(A1)=
，P（A2）=m，P（A3）=n
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的，
所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-
=
（II）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3
P(ξ=0)=P(
•
•
)=(1-
)(1-m)(1-n)=
；
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3)=
mn=
；
解得m=
，n=
（m＞n）．
P(ξ=1)=P(A1 •
•
+
•A2•
+
•
•A3)
=
(1-m)(1-n)+
m(1-n)+
(1-m)n=
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
；
∴ξ的分布列为
所以数学期望Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=
．
由题意可知P(A1)=
| 4 |
| 5 |
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的，
所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-
| 6 |
| 125 |
| 119 |
| 125 |
（II）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3
P(ξ=0)=P(
. |
| A1 |
. |
| A2 |
. |
| A3 |
| 4 |
| 5 |
| 6 |
| 125 |
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3)=
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 125 |
解得m=
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
P(ξ=1)=P(A1 •
. |
| A2 |
. |
| A3 |
. |
| A1 |
. |
| A3 |
. |
| A1 |
. |
| A2 |
=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 37 |
| 125 |
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=
| 58 |
| 125 |
∴ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 9 |
| 5 |
点评：本题考查对立事件，考查离散型随机事件的分布列与期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．
练习册系列答案
相关题目
，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m，n(m＞n)，且该同学3门课程都获得优秀的概率为
，该同学3门课程都未获得优秀的概率为
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m，n（m＞n），且该同学3门课程都获得优秀的概率为
，该同学3门课程都未获得优秀的概率为
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m，n（m＞n），且该同学3门课程都获得优秀的概率为
，该同学3门课程都未获得优秀的概率为
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．