题目内容

某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试．假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为 $数学公式$ ，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m，n（m＞n），且该同学3门课程都获得优秀的概率为 $数学公式$ ，该同学3门课程都未获得优秀的概率为 $数学公式$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

解：设事件A_i表示：该生语文、数学、英语课程取得优异成绩，i=1，2，3．
由题意可知 $\text{[math]}$ ，P（A₂）=m，P（A₃）=n
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的，
所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是 $\text{[math]}$
（II）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3
$\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ；
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （m＞n）．
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ；
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

所以数学期望 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件”ξ=0”是对立的，计算事件”ξ=0”的概率即可；
（II）由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，根据该同学3门课程都获得优秀的概率为 $\text{[math]}$ ，该同学3门课程都未获得优秀的概率为 $\text{[math]}$ ，确定m，n的值，进而可求ξ的取值为1，2时的概率，即可求得分布列与期望的值．
点评：本题考查对立事件，考查离散型随机事件的分布列与期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．