Question

如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.

（1）求证：；
（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

解析试题分析：本题有两种方法，第一种是传统方法：（1）连接，先由正方体的性质得到，以及平面，从而得到，利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假设四点、、、四点共面，利用平面与平面平行的性质定理得到，，于是得到四边形为平行四边形，从而得到的长度，再结合勾股定理得到的长度，最终得到的长度；（3）先延长、交于点，连接，找出由平面与平面所形成的二面角的棱，借助平面，从点在平面内作，连接，利用三垂线法得到为平面与平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中计算的余弦值；
第二种方法是空间向量法：（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定与的坐标，利用来证明，进而证明
；（2）先利用平面与平面平行的性质定理得到，然后利用空间向量共线求出点的坐标，进而求出的长度；（3）先求出平面和平面的法向量，结合图形得到由平面和平面所形成的二面角为锐角，最后再利用两个平面的法向量的夹角来进行计算.
试题解析：（1）如下图所示，连接，

由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下图所示，假设、、、