Question

已知函数f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，又当x∈[-

3

4

，-

1

2

]时，f（x）≤-

3

4

（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在f（x）的图象上，其中n∈N⁺求数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析：（1）配方求出二次函数的最小值，由最小值大于等于-1解得a的范围，再由函数在区间
[-

3

4

，-

1

2

]的两个端点处的函数值小于等于-

3

4

求出a的范围，取交集得到a的值，则函数f（x）的解析式可求；
（2）把点（a_n，a_n+1）代入函数f（x）的解析式，整理后得到数列{lg（1+a_n）}，是以lg3为首项，2为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{a_n}的通项．

解答：解：（1）f （x）=（x+

a

2

）²-

a2

4

，∴-

a2

4

≥-1，故-2≤a≤2，由x∈[-

3

4

，-

1

2

]时，
f （x）≤-

3

4

得，

9

16

-

3

4

a≤-

3

4

，且

1

4

-

1

2a

≤-

3

4

，故a≥

7

4

且a≥2，则a=2，
故f （x）=x²+2x；
（2）由（a_n，a_n+1）在f（x）的图象上，得a_n+1=an2+2a_n，∴a_n+1+1=（a_n+1）²，
两边取对数可得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
又lg（1+a₁）=lg（1+2）=lg3≠0．
∴数列{lg（1+a_n）}，是以lg3为首项，2为公比的等比数列．
∴lg(1+an)=2n-1•lg3，an=32n-1-1．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了函数解析式的常用求法，解答此题的关键在于配方后想到取对数，是中档题．