Question

（2012•钟祥市模拟）已知等比数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，数列{

1

an

}的前n项和为T_n，且S₂=3T₂，S5-S2=272(T5-T2)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{n•a_n}的前n项和R_n．

Answer 1

分析：（I）设公比为q，则a₁＞0，q＞0，利用S₂=3T₂，S5-S2=272(T5-T2)，求出首项与公比，然后求解数列{a_n}的通项公式；
（II）直利用错位相减法直接求数列{n•a_n}的前n项和R_n．

解答：解：（I）设公比为q，则a₁＞0，q＞0，依题意：
　

a1+a2=3( 1 a1 + 1 a2 ) a3+a3+a5=272( 1 a3 + 1 a4 + 1 a5 )

即
　

a1+a1q=3( 1 a1 + 1 a1q ) a1q2+a1q3+a1q4=36( 1 a1q2 + 1 a1q3 + 1 a1q4 )

…（2分）
即　

a12q=3 a12q6=36

…..（3分）
∵a₁＞0，q＞0，故q=3，a₁=1…..（5分）
∴an=3n-1…..（6分）
（II）∵Rn=1+2•3+3•32+…+n•3n-1①
3Rn=1•3+2•32+…+(n-1)•3n②…（8分）
①-②式有：-2Rn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=

3n-1-2n•3n

2

∴Rn=

(2n-1)•3n+1

4

…..（12分）

点评：本题考查等比数列通项公式的求法，前n循环的求法，考查错位相减法求和的应用，考查计算能力．