Question

5．函数f（x）=（m²-m-1）x^4m+3是幂函数，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，满足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0．则f（a）+f（b）的值（　　）

• A． 恒大于0
• B． 恒小于0
• C． 等于0
• D． 无法判断

Answer 1

分析 由幂函数的性质推导出f（x）=x¹¹，由此根据a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0．得到f（a）+f（b）=a¹¹+b¹¹＞0．

解答 解：∵函数f（x）=（m²-m-1）x^4m+3是幂函数，
对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，满足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-m-1=1}\\{4m+3＞0}\end{array}\right.$，解得m=2，
∴f（x）=x¹¹，
∵a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0．
∴f（a）+f（b）=a¹¹+b¹¹＞0．
故选：A．

点评 本题考查函数值和的符号的判断，是基础 题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．