题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，
得切线斜率为k=f'（2）=2a+3，（2分）
据题设，k=2，所以 $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ ，（3分）
所以切线方程为y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$
当a=0时， $\text{[math]}$ ，
由于x＞1，所以 $\text{[math]}$ ，
可知函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，（6分）
当a≠0时， $\text{[math]}$ ，
若a＞0，则 $\text{[math]}$ ，
可知当x＞1时，有f'（x）＞0，
函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，（8分）
若a＜0，则 $\text{[math]}$ ，
得当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0．
所以，函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，
在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减．
综上，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是定义区间（1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为 $\text{[math]}$ ，减区间为 $\text{[math]}$ ，（10分）
（Ⅲ）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；
当a＜0时，由（Ⅱ）知 $\text{[math]}$ ．
故只需 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．（11分）
令t=-a，则不等式为 $\text{[math]}$ ，且t＞0．
构造函数 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
知函数g（t）在区间（0，+∞）上单调递增．
因为g（1）=4ln1+3-2-1=0，所以当t＞1时，g（1）＞0，
这说明不等式 $\text{[math]}$ 的解为t＞1，即得a＜-1．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1）．（14分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，得切线斜率为k=f'（2）=2a+3，据题设，k=2，所以 $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ ，由此能求出切线方程．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知当a=0时， $\text{[math]}$ ，由于x＞1，所以 $\text{[math]}$ ，由此能够讨论函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；当a＜0时，由（Ⅱ）知 $\text{[math]}$ ．故只需 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．