Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如下图所示），
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设△AOB的重心为G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则， …（1）
∵OA⊥OB，
∴，……（2）
又点A，B在抛物线上，有，
代入（2）化简得，
∴，
所以重心为G的轨迹方程为；
（Ⅱ），
由（Ⅰ）得，
当且仅当时，等号成立，
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1。