Question

如图，四棱锥E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，
且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，根据面面垂直的性质可得BC⊥平面EAB，进而根据线面垂直的性质得到BC⊥EA，同理BF⊥EA，由线面垂直判定定理可得EA⊥平面EBC，再由线面垂直的性质即可得到AE⊥BE；
（2）设O为AB的中点，连接EO，可证得EO为三棱锥E-ADC的高，求出三棱锥的底面面积和高的长度，代入棱锥体积公式，即可求出答案．
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD和平面ECD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答：证明：（1）∵ABCD是矩形，
∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA?平面EAB，
∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA?平面ACE，
∴BF⊥EA，
∵BC∩BF=B，BC?平面EBC，BF?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE?平面EBC，
∴EA⊥BE．
解：（2）∵EA⊥BE，
∴AB=

AE2+BE2

=2

2

S_△ADC=

1

2

×AD×DC=

1

2

×BC×AB=2

2

设O为AB的中点，连接EO，
∵AE=EB=2，
∴EO⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E-ADC的高，且EO=

1

2

AB=

2

，
∴V_D-ABC=V_E-ADC=

1

3

•S_△ADC×EO=

4

3

．
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，则E（

2

，0，0），C（0，

2

，2），A（0，-

2

，0），D（0，-

2

，2），
∴

OE

=（

2

，0，0），

CD

=（0，-2

2

，0），

DE

=（

2

，

2

，-2），
由（2）知

OE

=（

2

，0，0）是平面ACD的一个法向量，设平面ECD的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m • DE =0 m • CD =0

，即

2 x+ 2 y-2z=0 -2 2 y=0

，令x=

2

，则y=0，z=1，
所以

m

=（

2

，0，1），设二面角A-CD-E的平面角的大小为θ，由图得0＜θ＜

π

2

，
cosθ=cos＜

OE

，

m

＞=

6

3

所以二面角A-CD-E的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面及求示，棱锥的体积，平面与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化及辩证关系是解答本题的关键．