Question

（2012•西城区二模）如图，四棱锥E-ABCD中，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出

EF

EA

；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO，则EO⊥AB，证明四边形OBCD为矩形，可得AB⊥DO，从而可得AB⊥平面EOD，由此即可证得结论；
（Ⅱ）F为EA中点时，有DF∥平面BCE，取EB中点G，连接CG，FG，证明DF∥CG，利用线面平行的判定可得DF∥平面BCE．

解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EA=EB，所以EO⊥AB． …（2分）
因为AB∥CD，AB=2CD，
所以BO∥CD，BO=CD．
又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，
所以AB⊥DO．                                         …（4分）
因为EO∩DO=O，所以AB⊥平面EOD．               …（5分）
所以AB⊥ED．                                        …（6分）
（Ⅱ）解：点F满足

EF

EA

=

1

2

，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE．…（7分）
证明如下：取EB中点G，连接CG，FG．                  …（8分）
因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG=

1

2

AB．
因为AB∥CD，CD=

1

2

AB，所以FG∥CD，FG=CD．
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．         …（11分）
因为DF?平面BCE，CG?平面BCE，…（12分）
所以DF∥平面BCE．                                   …（13分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，掌握线面垂直、线面平行的判定方法是关键．