Question

（2006•南汇区二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E为BB₁的中点，D点在AB上且DE=

3

．
（Ⅰ）求证：CD⊥面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求二面角C-A₁E-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别以CA、CB、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，标出所用点的坐标，求出面A₁ABB₁内两个不共线的向量的坐标，求出向量

CD

的坐标，由向量数量积等于0得到线线垂直，从而得到线面垂直；
（Ⅱ）求二面角C-A₁E-D的两个半平面所在平面的法向量，由法向量所成的角求解二面角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：分别以CA、CB、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
在Rt△EBD中，∵BE=1，DE=

3

，∴BD=

2

，∴D为AB中点，∴D（1，1，0），
∴

AB

=(-2，2，0)，

AA1

=(0，0，2)，

CD

=(1，1，0)，

A1E

=(-2，2，-1)，

CE

=(0，2，1)，

ED

=(1，-1，-1)．
由

CD

•

AB

=1×(-2)+1×2+0×0=0，可得CD⊥AB，

CD

•

AA1

=1×0+1×0+0×2=0，可得CD⊥AA₁，
∵AB∩AA₁=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：设平面A₁EC的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

m • CE =0 m • A1E =0

，得

2y+z=0 -2x+2y-z=0

，取z=2，得y=-1，x=-2．
∴

m

=(-2，-1，2)．
设平面A₁ED的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

n • A1E =0 n • ED =0

，得

-2x+2y-z=0 x-y-z=0

，取y=1，得x=1，z=0．
∴

n

=(1，1，0)．
设向量

m

，

n

所成的角为α，则cosα=

m • n

| m |•| n |

=

-2×1+(-1)×1

3 2

=-

2

2

，
∴α=

3π

4

．
故所求二面角的大小为

π

4

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，借助于空间向量求解二面角的大小能使抽象的空间问题代数化，解答的关键是空间坐标系的正确建立，考查了学生的计算能力，是中档题．