Question

如图，三棱柱ABC=A₁B₁C₁的侧棱A₁A垂直于底面ABC，A₁A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分别是AB、A₁A的中点．
（1）求证：A₁B⊥CM；
（2）求直线BN与平面A₁BC所成角正弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明CM⊥面AA₁B₁B，再利用线面垂直的性质，即可得到CM⊥A₁B；
（2）过N作NH⊥A₁C交A₁C于H，则∠NBH为所求的角，由此可得结论．

解答：（1）证明：∵M为AB的中点，AC=CB，∴CM⊥AB，
又∵AA₁⊥面ABC，CM?面ABC，
∴AA₁⊥CM
∵AB∩AA₁=A，∴CM⊥面AA₁B₁B，
∵CM?面AA₁B₁B，
∴CM⊥A₁B-------------（6分）
（2）解：过N作NH⊥A₁C交A₁C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA₁C₁C
∴BC⊥NH，
∴NH⊥面A₁BC，则∠NBH为所求的角
在直角△NBH中，sin∠NBH=

NH

BN

=

15

15

--------------（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，掌握线面垂直的判定，正确作出线面角是关键．