题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $数学公式$ =6，向量 $数学公式$ =（cosA，sinA）与向量 $数学公式$ =（4，-3）相互垂直．若b+c=7，则a的值为________．

$\text{[math]}$
分析：由 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ 可求得cosA= $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ =6可得bc=10，与b+c=7联立，利用余弦定理即可求得a的值．
解答：∵△ABC中， $\text{[math]}$ =6，
∴cbcosA=6；①
又 $\text{[math]}$ =（cosA，sinA）， $\text{[math]}$ =（4，-3）， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴4cosA-3sinA=0，
∴tanA= $\text{[math]}$ ，又A为△ABC中的内角，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，代入①有bc=10，又b+c=7，
∴由余弦定理得：a²=（b+c）²-2bc-2bccosA
=49-2×10-2×10× $\text{[math]}$
=17．
∴a= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查解三角形，考查向量的数量积与坐标运算，考查余弦定理的应用，属于中档题．