Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，f（x）在点x=0处取得极值，并且在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
（1）求实数b的值；
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在点x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得b=0．
∴f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2a

3

)．
可知a≠0时，b=0时，f′（x）在x=0处的左右符号相反，因此函数f（x）在点x=0处取得极值．
（2）由（1）可知：f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2a

3

)=3(x+

a

3

)2-

a2

3

．
∵f（x）在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
∴f′（x）区间[0，3]和[5，6]上具有相反的符号．分为以下两种情况：
1°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＞0，则[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＜0，则[5，6]上f′（x）＞0．
①当a＞0时，f′（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴f′（3）≤0，且f′（5）≥0，解得-

15

2

≤a≤-

9

2

，应舍去；
②当a＜0时，-

a

3

＞0．f′（x）在区间[0，-

a

3

)单调递减，在区间(-

a

3

，+∞)单调递增．
∵f′（0）=0，∴必有

f′(3)＜0 f′(5)≥0

，解得-

15

2

≤a＜-

9

2

．
综上可知：实数a的取值范围是-

15

2

≤a＜-

9

2

．