题目内容
已知以下三条曲线：
+
=1，
-
=1，
-
=1（a＞b＞0）的离心率分别为e1，e2，e3，对e1，e2，e3给出下列四个命题：（1）e1e2＜1；（2）e2＞e3；（3）
+
=1；（4）e22+e32＞4．其中正确命题的序号是 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| 1 |
| e22 |
| 1 |
| e32 |
分析：由题设条件，利用椭圆、双曲线的性质推导出e1=
，e2=
，e3=
，由此进行运算，能求出结果．
| ||
| a |
| ||
| a |
| ||
| b |
解答：解：∵
+
=1，
-
=1，
-
=1（a＞b＞0）的离心率分别为e1，e2，e3，
∴e1=
，e2=
，e3=
，
∴e1e2=
×
=
=
＜1，
即（1）正确；
∵a＞b，∴e2=
＜e3=
，即（2）错误；
+
=
+
=1，即（3）正确；
e22+e32=
+
=
=2+
≥4，即（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
∴e1=
| ||
| a |
| ||
| a |
| ||
| b |
∴e1e2=
| ||
| a |
| ||
| a |
| ||
| a2 |
1-(
|
即（1）正确；
∵a＞b，∴e2=
| ||
| a |
| ||
| b |
| 1 |
| e22 |
| 1 |
| e32 |
| a2 |
| a2+b2 |
| b2 |
| a2+b2 |
e22+e32=
| a2+b2 |
| a2 |
| a2+b2 |
| b2 |
=
| a2b2+b4+a4+a2b2 |
| a2b2 |
=2+
| a4+b4 |
| a2b2 |
故答案为：（1）（3）（4）．
点评：本题考查椭圆、双曲线的简单性质的应用，是基础题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
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