Question

39、证明：xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

Answer 1

分析：要证明xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．我们可使用数学归纳法：先证明n=1时，结论xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立，再假设n=k时，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．进而证明：n=k+1时，结论xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）也成立，即可得到结论．

解答：证明：当n=1时，
xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x-x=0
易得此时xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立；
设n=k时，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除成立，
即x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k能被（x-a）²整除成立，
则n=k+1时，
xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1
=x^k-ka^k-1x+（k-1）a^k+ka^k─1（x─a）²
即xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ=x^k+1-（k+1）a^kx+ka^k+1也能被（x-a）²整除
综合，xⁿ-na^n-1x+（n-1）aⁿ能被（x-a）²整除（a≠0）．

点评：本题考查的知识点是数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．