Question

函数y=sin（

1

5

x+

2k+1

2

π）（k∈Z）的奇偶性是

偶函数

．

Answer 1

分析：首先根据三角函数的诱导公式：sin(

π

2

+α) =cosα，将函数化简为y=cos(kπ+

1

5

x)  （k∈Z），其次根据k的奇偶性进行分类讨论，根据余弦函数为偶函数的性质分别得到它的奇偶性，最后综合可得原函数是偶函数．

解答：解：原函数可化为：
y=sin（

1

5

x+

2k+1

2

π）=sin[

π

2

+(kπ+

1

5

x)]=cos(kπ+

1

5

x)  （k∈Z）
下面进行分类：
①当k是偶数，时y=cos(kπ+

1

5

x)=cos

1

5

x
∴f（-x）=cos （-

1

5

x）=cos

1

5

x=f（x），函数是偶函数；
②当k是偶数，时y=cos(kπ+

1

5

x)=cos （π-

1

5

x）=-cos

1

5

x
∴f（-x）=-cos （-

1

5

x）=-cos

1

5

x=f（x），函数也是偶函数
综上所述，函数是定义在R上的偶函数
故答案为：偶函数

点评：本题考查了正弦函数、余弦函数的奇偶性与诱导公式等知识点，属于中档题．利用三角函数的诱导公式进行变形，再进行合理的分类讨论，是解决本题的关键所在．