Question

已知A

cosα，sinα

．B

cosβ，sinβ

，其中α、β为锐角，且|AB|=

10

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若tan

α

2

=

1

2

，求cosα及cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量模的公式建立关于α、β的等式，利用同角三角函数的关系算出cosα•cosβ+sinα•sinβ=

4

5

，进而可得cos（α-β）的值；
（2）利用二倍角的余弦公式与同角三角函数的商数关系，算出cosα=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

3

5

，从而得出sinα=

4

5

，再进行配角：β=α-（α-β），由两角差的余弦公式加以计算，即可得到cosβ的值．

解答：解：（1）∵A

cosα，sinα

，B

cosβ，sinβ

，|AB|=

10

5

，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

10

5

，
平方整理，得2-2(cosα•cosβ+sinα•sinβ)=

2

5

，
解得cosα•cosβ+sinα•sinβ=

4

5

因此，cos(α-β)=

4

5

；
（2）∵tan

α

2

=

1

2

，
∴cosα=cos2

α

2

-sin2

α

2

=

cos2 α 2 -sin2 α 2

cos2 α 2 +sin2 α 2

=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

．
∵α为锐角，∴sinα=

1-cos 2α

=

4

5

，
又∵α-β∈（-

π

2

，

π

2

），∴sin(α-β)=±

-cos2(α-β)

=±

3

5

，
①当sin(α-β)=

3

5

时，cosβ=cos[α-(α-β)]=cosα•cos(α-β)+sinα•sin(α-β)=

24

25

．
②当sin(α-β)=-

3

5

时，cosβ=cos[α-（α-β）]=cosα•cos（α-β）+sinα•sin（α-β）=0．
又∵β为锐角，
∴cosβ=0不符合题意，舍去．
因此可得cosβ的值为

24

25

．

点评：本题着重考查了向量模的计算公式、两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系与二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题．