Question

设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是       

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：因为，当x＞0时，=e²x+≥2=2e

所以x₁∈（0，+∞）时，函数f（x₁）有最小值2e

因为，g(x)=，所以，

当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增

当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减

∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e

则有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₁）_min=2e＞g（x₂）_max=e

又因为，恒成立且k＞0

所以，，所以，k≥1，故答案为k≥1。

考点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，均值定理的应用。

点评：中档题，解答本题的关键是认识到，由恒成立且k＞0，

确定，将问题转化成求函数的最值问题。本题难度较大。