题目内容
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆
的左、右顶点分别为
，椭圆
的右焦点为
，过作一条垂直于
轴的直线与椭圆相交于
，若线段
的长为
。
（1）求椭圆的方程；
（2）设
是直线
上的点，直线
与椭圆分别交于点
，求证：直线
必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；
【答案】
（1）依题意，椭圆过点
，故
，解得
。…………（2分）
椭圆
的方程为
。……………………………（5分）
（2）设
，直线
的方程为
，……………（6分）
代入椭圆方程，得
，
……（7分）
设
，则
，
，故点
的坐标为
。…（8分）
同理，直线
的方程为
，代入椭圆方程，
，
设
，则
，
。
可得点
的坐标为
。………………………（10分）
①若
时，直线
的方程为
，与
轴交于
点；……11
②若
，直线的方程为
，…（13分）
令
，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。
【解析】略
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