Question

（08年东北师大附中理）（12分）

  如图，已知正四棱锥中，2，M是侧面上到的最短路线与的交点.

（Ⅰ）证明：∥面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：∵和是全等的正三角形，∴为的中点.

又四棱锥P-ABCD为正四棱锥，∴、的交点为中点，

∴∥，∵平面，且平面，

∴∥面.…………………………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：过点作于点，则点为中点，且面，

过点作于点，连结，则就是二面角的平面角．

经计算可得，，∴，

且，∴．

∴。故二面角的大小为．

                                     …………………………………………12分

 

     解法二：以为原点建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则=，

，∴.

∴，取，则.

又平面的法向量为，

而，

故二面角的大小为.……………………………12分