Question

【题目】在平面直角坐标系中，动点P到两点、的距离之差的绝对值等于.设点P的轨迹为C.

（1）求C的轨迹方程；

（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程.

（2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程.

（1）动点P到两点的距离之差的绝对值等于，且，

设，则，

根据双曲线定义可知动点P的轨迹C为双曲线，

焦点在轴上，且，所以，

则双曲线的标准方程为C：.

（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，

当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为，设，

则，化简可得，

因为有两个交点，所以

化简可得恒成立，

所以，

因为恰好为线段的中点，则，

化简可得，

所以直线方程为，即.