Question

（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．
（I）估计所有参加笔试的2 000名学生中，参加 面试的学生人数；
（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答三个面试问题时，三人对每一个问题正确回答的概率均为

1

2

，用随机变量X表示该中学获得B类资格的人数，求X的分布列及期望EX．

Answer 1

分析：（1）设第i（i=1，2…8）组的频率为f_i，可得f₇，可得成绩在260分以上的同学的概率P≈

f7

2

+f8=0.14，可得所求约为2000×0.14=280人；
（2）不妨设三位同学为甲、乙、丙，且甲的成绩在270以上，记事件M，N，R，分别表示甲、乙、丙获得B类资格的事件，分别可得所以P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），列表可得X的分布列，进而可得期望值．

解答：解：（1）设第i（i=1，2…8）组的频率为f_i，
则由频率分布直方图知：
f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008）×10=0.12，
所以成绩在260分以上的同学的概率P≈

f7

2

+f8=0.14，
故这2000名同学中，取得面试资格的约为2000×0.14=280人．-----（4分）
（2）不妨设三位同学为甲、乙、丙，且甲的成绩在270以上，
记事件M，N，R，分别表示甲、乙、丙获得B类资格的事件，
则P（N）=P（R）=1-

1

8

=

7

8

，----（6分）
所以P（X=0）=P（

.

M

.

N

.

R

）=

1

256

，
P（X=1）=P（M

.

N

.

R

+

.

M

N

.

R

+

.

M

.

N

R）=

17

256

，
P（X=2）=P（MN

.

R

+

.

M

NR+M

.

N

R）=

91

256

，
P（X=3）=P（MNR）=

147

256

所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 256	17 256	91 256	147 256

∴EX=0×

1

256

+1×

17

256

+2×

91

256

+3×

147

256

=

5

2

----（12分）

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，以及期望的求解，属中档题．