Question

f（x）=x³-5x+a，x∈R．
（Ⅰ）求经过f（x）曲线上的点（1，2）的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，再利用导数的几何意义能够求出切线方程．
（Ⅱ）先求出f′（x），再利用导数的性质求f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-5x+a，x∈R，且f（x）过点（1，2），
∴1-5+a=2，解得a=6，
∴f（x）=x³-5x+6，
∴f′（x）=3x²-5，
∴所求切线的斜率k=f′（1）=3-5=-2，
∴所求切线方程为：y-2=-2（x-1），
整理，得y=-2x+4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-5x+6，f′（x）=3x²-5，
由3x²-5＞0，得x＞

15

3

或x＜-

15

3

；
由3x²-5＜0，得-

15

3

＜x＜

15

3

．
∴增区间(-∞，-

15

3

)与(

15

3

，+∞)；
减区间(-

15

3

，

15

3

)．

点评：本题考查切法方程和函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和导数性质的合理运用．