Question

已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，2a=b+c，bc=18．求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调增区间即可确定出f（x）的单调递增区间；
（2）根据确定出的f（x）解析式，以及f（A）=，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，变形后将cosA，2a=b+c，以及bc=18代入即可求出a的值．
解答：解：（1）f（x）=sin（2x-）+2cos²x-1=sin2x-cos2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），解得：kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）由f（A）=，得sin（2A+）=，
∵＜2A+＜2π+，
∴2A+=，
∴A=，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
又2a=b+c，bc=18，
∴a²=18，
∴a=3．
点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，三角函数中的恒等变换应用，以及正弦函数的单调性，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．