Question

定义函数f_K（x）=

f(x)，  f(x) ＞K K， f(x) ≤ K

（K为给定常数），已知函数f（x）=

5

2

x2-3x2lnx，若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K，则实数K的取值范围为

[

3

2

e

2

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：利用导数即可得出函数f（x）在（0，+∞）的最大值，进而得到k的取值范围．

解答：解：当x＞0时，f′（x）=5x-（6xlnx+3x）=2x（1-3lnx），
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e

1

3

，函数f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得x＞e

1

3

，函数f（x）单调递减．
因此当x=e

1

3

时，函数f（x）取得最大值f(e

1

3

)=

5

2

e

2

3

-3×e

2

3

×

1

3

=

3

2

e

2

3

．
故当k≥

3

2

e

2

3

时，对于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K．
故答案为[

3

2

e

2

3

，+∞)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、理解新定义等是解题的关键．