Question

已知数列{a_n}中，，．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

解：根据已知，，
猜测．…（3分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边=，猜想成立．…（4分）
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即，…（5分）
那么，，…（7分）
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立．…（8分）
分析：由题意可得 ，又a₁，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．猜想 ，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．