Question

已知对任意实数x，二次函数f（x）=ax²+bx+c恒非负，且a＜b，则

a+b+c

b-a

的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由题意可得 b＞a＞0，再由△≤0得到c≥

b2

4a

，故 

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

≥

(2 3a(b-a) )2

4a(b-a)

=3，从而求得

a+b+c

b-a

的最小值．

解答：解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c恒非负，故 b＞a＞0．
再由△≤0得到c≥

b2

4a

．
则

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

4a2+b2+4ab

4a(b-a)

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

≥

(2 3a(b-a) )2

4a(b-a)

=

12a(b-a)

4a(b-a)

=3，
故当3a=b-a，且 c=

b2

4a

时，

a+b+c

b-a

取得最小值是3，
即 b=c=4a时，

a+b+c

b-a

的最小值是3，
故答案为 3．

点评：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键和难点，属于中档题．