Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P―ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

（1）证明PA⊥平面ABCD；

（2）已知点E在PD上，且PE:ED=2:1，点F为棱PC的中点，证明BF//平面AEC。

（3）求四面体FACD的体积.

Answer 1

证明：（I）因为在正方形ABCD中，AC=2

∴AB=AD=

可得：在△PAB中，PA²+AB²=PB²=6。

所以PA⊥AB

同理可证PA⊥AD

故PA⊥平面ABCD

   （II）取PE中点M，连接FM，BM，连接BD交AC于O，连接OE

                                      

∵F，M分别是PC，PF的中点，

∴FM∥CE，

又FM面AEC，CE面AEC

∴FM∥面AEC

又E是DM的中点

OE∥BM，OE面AEC，BM面AEC

∴BM∥面AEC且BM∩FM=M

∴平面BFM∥平面ACE

又BF平面BFM，∴BF∥平面ACE

   （3）连接FO，则FO∥PA，因为PA⊥平面ABCD，则FO⊥平面ABCD，所以FO=1，

S_ACD=1，

    ∴V_FACD=V_F――ACD=