Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角B-PC-D的大小为

2π

3

时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，设G点坐标为（m，m，0），根据向量平行的充要条件，可得变量m的值，进而可得点G在线段AC上的位置．
（II）分别求出平面PBC的一个法向量和平面PDC的一个法向量，进而根据二面角B-PC-D的大小为

2π

3

，可得变量a值，进而根据∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，可得PC与底面ABCD所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，
设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
E（

1

2

，

1

2

，0），F（

1

2

，

1

2

，

a

2

），G（m，m，0）（0＜m＜

2

）．
要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，
而

PE

=（

1

2

，

1

2

，-a），
由

FG

=λ

PE

可得

m- 1 2 = 1 2 λ - a 2 =-aλ

解得λ=

1

2

，m=

3

4

，
∴G点坐标为（

3

4

，

3

4

，0）
∴

AG

=

3

4

AC

，
故当AG=

3

4

AC时，FG∥平面PBD．
（Ⅱ）设平面PBC的一个法向量为

u

=（x，y，z），
则

u • PC =0 u • BC =0

而

PC

=（1，1，-a），

BC

=（0，1，0），
∴

x+y-az=0 y=0

取z=1，得

u

=（a，0，1），
同理可得平面PDC的一个法向量

v

=（0，a，1），
设u，v所成的角为θ，
则|cosθ|=|cos

2π

3

|=

1

2

，
即

|u•v|

|u||v|

=

1

2

，
∴

1

a2+1 • a2+1

=

1

2

，
∴a=1，
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

1

2

=

2

2

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判断，其中建立空间坐标系，将直线与平面的关系，及二面角问题转化为向量问题是解答的关键．