Question

选修4-4：坐标系与参数方程：
已知直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，直线l经过点P，倾斜角为α．
（1）写出点P的直角坐标及直线l的参数方程；
（2）设l与圆ρ=3相交于A、B两点，求弦AB长度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）点P（2，）的直角坐标为P（1，），由l的倾斜角为α，能求出l的参数方程．
（2）圆ρ=3的直角坐标方程为x²+y²=9，由A、B在直线l上，A、B对应的参数分别为t₁，t₂，将l的参数方程代入x²+y²=9，得，由此能求出|AB|的最小值．
解答：解：（1）点P（2，）的直角坐标为P（1，），
由l的倾斜角为α，则l的参数方程为：
，（t为参数）．
（2）圆ρ=3的直角坐标方程为x²+y²=9，
∵A、B在直线l上，A、B对应的参数分别为t₁，t₂，
将l的参数方程代入x²+y²=9，
得（1+tcosα）²+（）²=9，
化简，得，
，
t₁•t₂=-5，
|AB|=
=
=
=
=，
当sin（2）=-1，即α=时，|AB|的最小值是2．
点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查两点间距离公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数知识的灵活运用．