Question

已知二函数y=3x⁴+a，y=4x³，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（　　）

• A、0
• B、12
• C、0或12
• D、4或1

Answer 1

分析：设出切点，利用导数的几何意义即可求解．

解答：解：设公共点为P（x₀，y₀），则在函数y=3x⁴+a中，
y′|x=x0=12x03，
则在P点处的切线方程为y-y₀=12x₀³（x-x₀）
即y-（3x₀⁴+a）=12x₀³（x-x₀）
化简得，y=12x₀³x-9x₀⁴+a
在函数y=4x³中，y′|x=x0=12x02
则在P点处的切线方程为y-y₀=12x₀²（x-x₀）
即y-4x₀³=12x₀²（x-x₀）
化简得，y=12x₀²x-8x₀³
又两个函数在公共点处的切线重合，
∴

12x03=12x02 -9x04+a=-8x03

∴

x0=0 a=0

或

x0=1 a=1

∴切线斜率为0或12．

点评：设出切点是本题解题的关键，再利用几何意义进行求解．今年的高考中，对导数的考查大多数集中在几何意义的考查上．