Question

求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1．求f（x）．
（2）设f（x）满足，求f（x）．

Answer 1

解（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=0，得c=0，
由f（x+1）=f（x）+x+1，得：a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
整理得：ax²+（2a+b）x+a+b+c=ax²+（b+c）x+c+1．
所以，解得：．
所以．
（2）由①
知x≠0，取x=，得②
①+2×②得：．
所以．
分析：（1）由f（x）是二次函数，设出函数表达式，根据f（0）=0求得c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1，代入函数表达式后整理，由系数相等求解a，b的值，则解析式可求；
（2）在给出的等式中，以替换x，得到关于f（x）和的二元方程组，利用加减消元法求得f（x）．
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，训练了待定系数法和换元法，是基础题型．