Question

求下列函数的解析式：
（1）设f（x）满足f（x）+2f（

1

x

）=x²-2，求f（x）
（2）已知f（2x+1）=x²+2x-3（1≤x≤4），求f（

1

x

）

Answer 1

分析：（1）f（x）+2f（

1

x

）=x²-2①，用

1

x

代替x得：2f（x）+f（

1

x

）=

1

x2

-2②，根据两式可消掉f（

1

x

）得f（x）；
（2）用换元法可求得f（x），然后用

1

x

代替x可得f（

1

x

）；

解答：解：（1）f（x）+2f（

1

x

）=x²-2①，
用

1

x

代替x得：2f（x）+f（

1

x

）=

1

x2

-2②，
①-2②，得-3f（x）=x²-2-（

2

x2

-4）=x2-

2

x2

+2，
∴f（x）=-

x2

3

+

2

3x2

-

2

3

，；
（2）令t=2x+1，t∈[3，9]，x=

t-1

2

，
∴f（t）=(

t-1

2

)2+2•

t-1

2

-3=

t2

4

+

t

2

-

15

4

，
∴f（

1

x

）=

1

4x2

+

1

2x

-

15

4

（

1

9

≤x≤

1

3

）．

点评：本题考查函数解析式的求解及其常用方法，属基础题，熟记相关题型及其基本方法是解决问题的基础．