Question

已知及是实数集，x∈R，平面向量=（1，sin²x-cos²x），平面向量=（cos（2x-），1），函数f（x）=•．
（I ）求f（x）的最小正周期；
（II ）设函数F（x）=[f（x）]²+f（x），求F（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I ）通过向量的数量积，化简函数的表达式得到一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最小正周期；
（II ）化简函数F（x）=[f（x）]²+f（x），通过配方得到[sin（2x-）+]²，然后求出函数的最值，即可求F（x）的值域．
解答：解：（I ）平面向量=（1，sin²x-cos²x），平面向量=（cos（2x-），1），函数f（x）=•，
∴f（x）=cos（2x-）-cos2x
=cos2xsin2x-cos2x=sin（2x-）．
∴f（x）的最小正周期T=．
（II ）F（x）=[f（x）]²+f（x）=sin²（2x-）+sin（2x-）
=[sin（2x-）+]²
当sin（2x-）=-时，F（x）的最小值为-；当sin（2x-）=1时，F（x）取得最大值为2．
F（x）的值域为[]
点评：本题是中档题，通过向量的数量积的应用，化简三角函数的表达式，求出函数的最值，周期，考查计算能力，常考题型．