题目内容

已知椭圆E的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率 $数学公式$ ，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，且 $数学公式$ ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l：y=x+m与椭圆E相交于M，N两点，且OM⊥ON（其中O为坐标原点），求m的值．

解：（1）设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），半焦距为c，
由 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ ，得a²=2b²…（2分）
由 $\text{[math]}$ 得，a²+b²=6，…（4分）
故a²=4，b²=2
所以，椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）由 $\text{[math]}$ ，消去y，并整理得：3x²+2mx+m²-4=0，…（7分）
由判别式△=4m²-12（m²-4）＞0，解得 $\text{[math]}$ …（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（10分）
由OM⊥ON，得 $\text{[math]}$ …（11分）
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）利用待定系数法，根据离心率 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，建立方程，求得几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．